ในสาระสำคัญ ฟังก์ชันคือ กฎของการจับคู่ ที่กำหนดให้แต่ละสมาชิกจากเซตของข้อมูลนำเข้า (โดเมน) โดเมน) ให้เป็นเพียงหนึ่งเดียวในเซตของผลลัพธ์ (เรนจ์) เรนจ์) ความสัมพันธ์แน่นอนนี้เป็นรากฐานหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ทำให้เราสามารถอธิบายว่าพฤติกรรมของตัวแปรหนึ่งถูกกำหนดอย่างเคร่งครัดโดยอีกตัวแปรหนึ่งได้อย่างไร
พิจารณา โมเดลความเข้มข้นของเกลือ: หากเราสูบโซลูชันเกลือใส่ถังน้ำบริสุทธิ์ ความเข้มข้น $C(t)$ จะเป็นฟังก์ชันของเวลา $t$ สำหรับแต่ละช่วงเวลาที่เราเลือกไว้ จะมีระดับความเข้มข้นที่เป็นไปได้เพียงหนึ่งเดียว กฎนี้ที่ว่า "อินพุตหนึ่ง ผลลัพธ์หนึ่ง" เป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัส
นิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน $f$ คือกฎที่กำหนดให้แต่ละองค์ประกอบ $x$ ในเซต $D$ มีเพียงองค์ประกอบเดียว เรียกว่า $f(x)$ อยู่ในเซต $E$ เราแสดงความสัมพันธ์นี้ทางพีชคณิตผ่านสูตรต่าง ๆ เช่น:
- $y = mx + b$ (เชิงเส้น)
- $f(x) = \sqrt{x}$ (ราก)
- $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$ (นิยามเชิงเซต)
ฟังก์ชันไม่ใช่แค่สูตรเท่านั้น แต่ยังสามารถนิยามได้จากตารางค่า (ฟังก์ชันแบบตาราง) ฟังก์ชันแบบตาราง) หรือแม้แต่เพียงเซตของคู่ลำดับ
การทดสอบเส้นแนวตั้ง (VLT): เส้นโค้งในระนาบ $xy$ แสดงถึงฟังก์ชันของ $x$ ก็ต่อเมื่อไม่มีเส้นแนวตั้งใดเลยที่ตัดเส้นโค้งมากกว่าหนึ่งจุด ซึ่งจะยืนยันว่าเงื่อนไข "ผลลัพธ์เดียว" ได้รับการปฏิบัติ
การประเมินเชิงประยุกต์: ผลต่างส่วน
เพื่อวัดการเปลี่ยนแปลงในความสัมพันธ์เหล่านี้ เราจะประเมินนิพจน์ $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ บ่อยครั้ง
ให้ $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ เพื่อประเมินผลต่างส่วน:
- แทนค่า $(a+h)$ ลงใน $f$: $f(a+h) = 2(a+h)^2 - 5(a+h) + 1$
- ขยาย: $2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h + 1 = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1$
- ลบ $f(a)$: $(2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1) - (2a^2 - 5a + 1) = 4ah + 2h^2 - 5h$
- หารด้วย $h$: $\frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h} = 4a + 2h - 5$